Question

3．已知橢圓C與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{7}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有公共焦點，且離心率e=$\frac{3}{5}$，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知點P是橢圓C上的一動點，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在橢圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？

Answer 1

分析 （1）由題意，c=3，a=5，b=4，即可求橢圓的標準方程；
（2）確定P、M坐標之間的關系，利用點P在橢圓上，即可求得線段PD中點M的軌跡E的方程；

解答 解：（1）由題意，c=3，a=5，∴b=4，
∴橢圓的標準方程$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）設PD中點M（x，y），P（x′，y′），依題意x=x′，y=$\frac{y′}{2}$
∴x′=x，y′=2y
又點P在$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1上，∴$\frac{x{′}^{2}}{25}+\frac{y{′}^{2}}{4}$=1，即$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴線段PD的中點M軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查學生的計算能力，正確運用代入法是關鍵，屬于中檔題．