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已知命題:在平面直角坐標系中,△ABC的頂點A(-c,0)和C(c,0),頂點B在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,c=
a2-b2
)
上,橢圓的離心率是e,則
sinA+sinC
sinB
=
1
e
,類比上述命題有:在平面直角坐標系中,△ABC的頂點A(-c,0)和C(c,0),頂點B在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,c=
a2+b2
)
上,雙曲線的離心率是e,則
|sinA-sinC|
sinB
=
1
e
|sinA-sinC|
sinB
=
1
e
分析:根據橢圓的離心率的說法可以寫出推理的前提,對于雙曲線的離心率可以通過定義表示出來,根據正弦定理把三角形的邊長表示成角的正弦.
解答:解:∵根據橢圓的離心率的說法可以寫出推理的前提,
平面直角坐標系xOy中,△ABC頂點A(-c,0)和C(c,0),
頂點B在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,c=
a2+b2
)
上,
雙曲線的離心率是e
后面的關于離心率的結果要計算出
1
e
=
a
c
=
2a
2c
=
|AB-BC|
AC

∴由正弦定理可以得到
1
e
=
|sinA-sinC|
sinB
,
故答案為:
|sinA-sinC|
sinB
=
1
e
點評:本題考查橢圓與雙曲線的基本性質,類比推理,解題的關鍵是利用定義表示出雙曲線的離心率,再利用正弦定理表示出來,本題是一個基礎題.
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