Question

（本題滿分12分）
已知點P（-1,）是橢圓E：（）上一點，F₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF₁⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設A、B是橢圓E上兩個動點，（0<λ<4，且λ≠2）．求證：直線AB的斜率等于橢圓E的離心率；
（3）在（2）的條件下，當△PAB面積取得最大值時，求λ的值．

Answer 1

解：（1）∵PF₁⊥x軸，
∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），
|PF₂|=，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，
橢圓E的方程為：；…………………3分

⑶設直線AB的方程為y=x+t，
與聯立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0,
△=3（4-t²），
AB|=，
點P到直線AB的距離為d=,
△ PAB的面積為S=|AB|×d=,  ………10分
設f（t）=S²=（t⁴-4t³+16t-16） （-2<t<2），
f’（t）=-3（t³-3t²+4）=-3（t+1）（t-2）²，由f’（t）=0及-2<t<2得t=-1．
當t∈（-2,-1）時，f’（t）>0，當t∈（-1,2）時，f’（t）<0，f（t）=-1時取得最大值，
所以S的最大值為．
此時x₁+x₂=-t=1=-2，=3．……………………………………12分

略