Question

若不等式

4-x2

≤k(x+1)的解集為區間[a，b]，且b-a=1，則 k=

 

．

Answer 1

分析：將不等式的兩邊分別構造兩個函數，左邊的部分對應的函數是一個圓的上部，右邊的部分對應的函數是過定點的直線，結合圖象求出k的范圍．

解答：解：y1=

4-x2

(-2≤x≤2)
平方變形得
x²+y₁²=4（y₁≥0）
則其圖象表示為以原點為圓心，半徑為2的圓在x軸上方的上半部分
令y₂=k（x+1）
其圖象為一條經過點（-1，0），斜率為k的直線
點（-1，0）在半圓x²+y₁²=4（y₁≥0）的內部

4-x2

≤k(x+1)就是指直線y₂=k（x+1）高出圓x²+y₁²=4（y₁≥0）的那一部分時，x的范圍為[a，b]，
結合圖象x的范圍為[a，2]或[-2．b]
∴2-a=1或b+2=1
∴a=1或b=-1
當-1=1時斜率不存在，
當a=1時，k=

3

2

故答案為

3

2

點評：解含參數的無理不等式時，一般通過平方去根號轉化為有理不等式再解；有時構造函數，數形結合來求參數的范圍．