Question

設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=4-a^|x-2|-2•a^x-2的圖象關(guān)于點A（1，2）對稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個不同的正數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）滿足如下性質(zhì)：若存在最大（�。┲担瑒t最大（�。┲蹬ca無關(guān)．試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出動點的坐標，利用中點的坐標公式求出對稱點的坐標，代入已知函數(shù)的解析式，即得動點的解析式．
（2）通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程的實根分布，畫出二次函數(shù)的通圖象，從判別式、對稱軸的位置、區(qū)間端點值的符號上加以限制，列出不等式組，求出m的范圍．
（3）對自變量x分段討論去掉絕對值符號，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，對a分類討論，判斷最值是否與a有關(guān)．

解答：解：（1）設(shè)點P（x，y）是函數(shù)f（x）圖象上任意一點，P關(guān)于點A對稱的點為P'（x'，y'），則

x+x′

2

=1，

y+y′

2

=2，于是x'=2-x，y'=4-y，（2分）
因為P'（x'，y'）在函數(shù)g（x）的圖象上，所以y'=4-a^|x'-2|-2•a^x'-2，（3分）
即4-y=4-a^|-x|-2•a^-x，y=a^|x|+2•a^-x，所以f（x）=a^|x|+2•a^-x（或f(x)=a|x|+

2

ax

）．（5分）
（2）令a^x=t，因為a＞1，x＞0，所以t＞1，所以方程f（x）=m可化為t+

2

t

=m，
即關(guān)于t的方程t²-mt+2=0有大于1的相異兩實數(shù)解．（8分）
作h（t）=t²-mt+2，則

h(1)＞0 m 2 ＞1 m2-8＞0

，（11分）
解得2

2

＜m＜3．所以m的取值范圍是(2

2

 ， 3)．（12分）
（3）g（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞）．
當x≥0時，因為a＞1，所以a^x≥1，g（x）=3a^x∈[3，+∞），所以函數(shù)g（x）不存在最大值．（13分）
當-2≤x＜0時，g(x)=2ax+

1

ax

，令t=a^x，則g(x)=h(t)=2t+

1

t

，t∈[

1

a2

 ， 1)，
當

1

a2

＞

2

2

，即1＜a＜

4	2

時，h（t）在[

1

a2

 ， 1)上是增函數(shù)，存在最小值a2+

2

a2

，
與a有關(guān)，不符合題意．（15分）
當0＜

1

a2

≤

2

2

，即a≥

4	2

時，h（t）在[

1

a2

 ， 

2

2

]上是減函數(shù)，在[

2

2

 ， 1)上是增函數(shù)，當t=

2

2

即x=-

1

2

loga2時，h（t）取最小值2

2

，與a無關(guān)．（17分）
綜上所述，a的取值范圍是[

4	2

 ， +∞)．（18分）

點評：本題考查函數(shù)解析式的求法：設(shè)出動點坐標，求出相關(guān)點的坐標，利用相關(guān)點滿足的解析式求出動點的解析式．
考查換元法：要注意新變量的范圍、考查二次方程的實根分布、考查利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值．