Question

7．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，SA=AB=$\frac{1}{2}$AC=a，∠BAC=60°，D是SC上的點．
（Ⅰ）若SD=$\frac{1}{4}$SC，求證：AC⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在AC上任取一點E，使AE=$\frac{1}{4}AC$，則DE∥SA只需證明DE⊥AC．BE⊥AC，即可得AC⊥面BDE，AC⊥BD．
（Ⅱ）過E作EF⊥SC于F，連接BF，則SC⊥面BEF，可得EFB為二面角A-SC-B的平面角，在Rt△BEF中，cos$∠EFB=\frac{EF}{BF}=\frac{\sqrt{6}}{4}$．可得二面角A-SC-B的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）在AC上任取一點E，使AE=$\frac{1}{4}AC$，則DE∥SA
∵SA⊥底面ABC，∴DE⊥底面ABC，∴DE⊥AC．
在△ABE，AE=$\frac{1}{2}a$，AB=a，∠BAC=60°，
由余弦定理得BE=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}-2a•\frac{1}{2}acos6{0}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
∵AB²=AE²+BE²，∴BE⊥AC
∴AC⊥面BDE，AC⊥BD．
（Ⅱ）∵SA⊥底面ABC，SA?底面ABC，∴平面SAC⊥底面ABC．
由（Ⅰ）知BE⊥AC，∴BE⊥面SAC，BE⊥SC，
過E作EF⊥SC于F，連接BF，則SC⊥面BEF，∴SC⊥BF
∵EF⊥SC，BF⊥SC，∴∠EFB為二面角A-SC-B的平面角．
∵Rt△SAC∽Rt△EFC，∴$\frac{SA}{EF}=\frac{SC}{EC}，即\frac{a}{EF}=\frac{\sqrt{5}a}{\frac{3}{2}a}$，∴$EF=\frac{3a}{2\sqrt{5}}$．
又∵BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，∴BF=$\sqrt{B{E}^{2}+E{F}^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{9}{20}{a}^{2}}=\frac{\sqrt{30}}{5}a$．
在Rt△BEF中，cos$∠EFB=\frac{EF}{BF}=\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴二面角A-SC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$

點評 本題考查了空間直線與直線的位置關系，考查了幾何法求二面角，屬于中檔題．