Question

【題目】已知函數f（x）= （e為自然對數的底數，e=2.71828…）．
（1）證明：函數f（x）為奇函數；
（2）判斷并證明函數f（x）的單調性，再根據結論確定f（m2﹣m+1）+f（﹣ ）與0的大小關系；
（3）是否存在實數k，使得函數f（x）在定義域[a，b]上的值域為[kea ， keb]．若存在，求出實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：函數f（x）定義域為R，

對于任意的x∈R，都有f（﹣x）= = =﹣f（x），

所以函數f（x）為奇函數

（2）解：f（x）= 在R上為增函數，理由如下：

∵f′（x）= ＞0恒成立，

∴f（x）= 在R上為增函數，

∵

∴f（m2﹣m+1）≥f（﹣ ）=﹣f（ ），

∴f（m2﹣m+1）+f（﹣ ）≥0

（3）∵f（x）為R上的增函數且函數f（x）在定義域[a，b]上的值域為[kea，keb]．

∴k＞0且 ，

=kex在R上有兩個不等實根；

令t=ex，t＞0且單調增，問題即為方程kt2+（k﹣1）t+1=0在（0，+∞）上有兩個不等實根，

設h（t）=kt2+（k﹣1）t+1，

則 ，解得：0＜k＜3﹣2

【解析】（1）根據奇函數的定義，可判斷函數f（x）為奇函數；（2）f（x）= 在R上為增函數，利用導數法可證明結論，進而判斷出f（m2﹣m+1）+f（﹣ ）≥0；（3）若函數f（x）在定義域[a，b]上的值域為[kea，keb]．則 =kex在R上有兩個不等實根，進而得到實數k的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的圖象(函數的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成；圖像上每一點坐標（x，y）代表了函數的一對對應值，他的橫坐標x表示自變量的某個值，縱坐標y表示與它對應的函數值)，還要掌握利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)的相關知識才是答題的關鍵．