Question

已知是二次函數，不等式的解集是(0，5)，且在區間[-1，4]上的最大值是12．

（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在正整數m,使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）方程，

設，則.

當時，，是減函數；當時，，是增函數.

因為.所以方程在區間，內分別有唯一實數根，而區間，內沒有實數根.所以存在唯一的正數，使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根.

【解析】

試題分析：（1）由已知得0，5是二次函數的兩個零點值，所以可設，開口方向向上，對稱軸為，因此在區間上的最大值是，則，即，因此可求出函數的解析式；（2）由（1）得，構造函數，則方程的實數根轉化為函數的零點，利用導數法得到函數減區間為、增區間為，又有，，，發現函數在區間，內分別有唯一零點，而在區間，內沒有零點，所以存在唯一的正數，使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根.

（1）因為是二次函數，且的解集是，

所以可設 2分

所以在區間上的最大值是. 4分

由已知，得，.. 6分

（2）方程，

設，則. 10分

當時，，是減函數；

當時，，是增函數. 10分

因為.

所以方程在區間，內分別有唯一實數根，而區間，內沒有實數根. 12分

所以存在唯一的正數，使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根. 14分

考點：1.函數解析式；2.函數零點.