Question

【題目】在四棱錐中，，．為的中點．

（1）若點為的中點，求證：平面；

（2）當平面平面時，線段上是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的大小為？若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．

【解析】

(1)利用線面平行的判定定理證明平面，平面，由面面平行的判定定理得到平面平面，再由面面平行的性質即可得到平面；

(2) 以為坐標原點，分別以，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

證明：（1）連接，．由已知得，為等邊三角形，．

∵，，由余弦定理可得：

∴

∴，∴

又∵平面，平面

∴平面

∵為的中點，為的中點，∴．

又∵平面，平面

∴平面．

∵，平面

∴平面平面．

∵平面，∴平面．

（2）取中點為，連接,

因為，，所以，．

∵平面平面，且交線為，，面

∴平面．

，，以為坐標原點，分別以，為軸，建立空間直角坐標系．

，，，，．

設，則可得

∵平面

∴平面的一個法向量為．

設平面的法向量為．

∵，

由得

取 得

設平面與平面所成銳二面角為，則

化簡得：，解得(舍)，

∴．