Question

已知不等式

ax-2

x+1

＞0(a∈R)．
（1）若x=-a時不等式成立，求a的取值范圍；
（2）解已知中關于x的不等式．

Answer 1

分析：（1）把x=a代入原不等式，得到關于a的不等式，根據兩數相除，同號得正的取符號法則，由a²+2恒大于0，得到a-1也大于0，求出a的范圍即可；
（2）分三種情況考慮：當a=0時，把a=0代入原不等式，根據兩數相除，異號得負的取符號法則可得x+1小于0，即可求出此時x的范圍；當a大于0時，根據兩數相除的取符號法則得到ax-2與x+1同號，轉化為兩個不等式組，求出兩不等式組解集的并集得到原不等式的解集；當a小于0時，在不等式兩邊同時除以-1，不等號方向改變，轉化為兩個不等式組，分兩種情況：-2＜a＜0和a＜-2，根據

2

a

與-1的大小，寫出不等式組的解集，進而得到原不等式的解集．

解答：解：（1）把x=-a代入原不等式得：

-a2-2

-a+1

＞0，即

a2+2

a-1

＞0，
∵a²+2＞0，∴a-1＞0，
解得a＞1，
則a的取值范圍是a＞1；
（2）當a=0時，原不等式化為

2

x+1

＜0，解得x＜-1；
當a＞0，原不等式化為

ax-2＞0 x+1＞0

或

ax-2＜0 x+1＜0

，
解得x＞

2

a

或x＜-1；
當a＜0時，原不等式變形得：

-ax+2

x+1

＜0，
可化為

-ax+2＞0 x+1＜0

或

-ax+2＜0 x+1＞0

，
若

2

a

＜-1，即-2＜a＜0時，解得：

2

a

＜x＜-1；
若

2

a

＞-1，即a＜-2時，解得：-1＜x＜

2

a

；
則原不等式的解集為：當a=0時，解集為（-∞，-1）；
當a＞0時，解集為（-∞，-1）∪（

2

a

，+∞）；
當-2＜a＜0時，解集為（

2

a

，-1）；
當a=-2時，解集為空集；
當a＜-2時，解集為（-1，

2

a

）．

點評：此題考查了其他不等式的解法，利用了轉化及分類討論的數學思想，是高考中常考的題型．