Question

討論下列函數的單調性.

(1)f(x)=a^x-a^-x(a＞0且a≠1);

(2)f(x)=log_a(3x²+5x-2)(a＞0且a≠1);

(3)f(x)=(-1＜x＜1,b≠0).

Answer 1

分析：當函數含有字母參數時，分類討論在所難免.不同的函數結構往往使分類方法不同，應注意分類討論的準確性.

解：(1)函數定義域為R.

f′(x)=a^xlna-a^-x·lna(-x)′=lna(a^x+a^-x).

當a＞1時，lna＞0,a^x+a^-x＞0,∴f′(x)＞0.

∴函數f(x)在（-∞,+∞）上是增函數.

當0＜a＜1時，lna＜0,a^x+a^-x＞0,

∴f′(x)＜0.

∴函數f(x)在（-∞,+∞）上是減函數.

(2)函數的定義域是x＞或x＜-2.

f′（x）=·(3x²+5x-2)′=.

①若a＞1,則當x＞時，log_ae＞0,6x+5＞0,(3x-1)(x+2)＞0,

∴f′(x)＞0,

∴函數f(x)在（，+∞)上是增函數;

當x＜-2時，f′(x)＜0,

∴函數f(x)在（-∞,-2）上是減函數

②若0＜a＜1,則當x＞時，f′(x)＜0,

∴函數f(x)在(,+∞)上是減函數；

當x＜-2時，f′(x)＞0,

∴函數f(x)在（-∞,-2)上是增函數.

(3)函數f(x)是奇函數，只需討論函數在（0，1）上的單調性.

當0＜x＜1時，

f′(x)=b·

=-.

若b＞0,則f′(x)＜0,函數f(x）在（0，1）上是減函數；

若b＜0,則f′(x)＞0,函數f(x)在（0，1）上是增函數.

又函數f(x)是奇函數，而奇函數在對稱的兩個區間上有相同的單調性.所以當b＞0時，函數f(x)在（-1，1）上是減函數，當b＜0時，函數f(x)在（-1，1）上是增函數.