Question

已知函數f（x）=log₂（4^x+1）-ax．
（1）若函數f（x）是R上的偶函數，求實數a的值；
（2）若x∈（0，1]，不等式f（x）≥log₂（4^x-1）+log₂

a

4x

-ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）直接由f（-1）=f（1）列式求得a的值；
（2）把f（x）代入f（x）≥log₂（4^x-1）+log₂

a

4x

-ax，去掉對數符號后分離參數a，換元后利用基本不等式求最值，則答案可求．

解答： 解：（1）函數f（x）=log₂（4^x+1）-ax的定義域為R，
∵函數f（x）=log₂（4^x+1）-ax是R上的偶函數，
∴f（-1）=f（1），
即log2(4-1+1)+a=log₂（4+1）-a，
解得：a=1；
（2）由f（x）≥log₂（4^x-1）+log₂

a

4x

-ax，得
log₂（4^x+1）-ax≥log₂（4^x-1）+log₂

a

4x

-ax，即a≤

(4x)2+4x

4x-1

，
令4^x=t，
∵x∈（0，1]，
∴t∈（1，4]．
a≤

(4x)2+4x

4x-1

化為a≤

t2+t

t-1

=

(t-1)2+3(t-1)+2

t-1

=(t-1)+

2

t-1

+3．
∵(t-1)+

2

t-1

+3≥3+2

(t-1)• 2 t-1

=3+2

2

．
當且僅當t-1=

2

t-1

，即t=

2

+1時上式等號成立．
∴a≤3+2

2

．

點評：本題考查了函數奇偶性的性質，考查了利用分離變量法求參數的取值范圍，考查了利用基本不等式求函數的最值，是中檔題．