Question

已知E（2，2）是拋物線C：y²=2px上一點，經過點（2，0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點（不同于點E），直線EA，EB分別交直線-2于點M，N．
（1）求拋物線方程及其焦點坐標；
（2）已知O為原點，求證：以MN為直徑的圓恰好經過原點．

Answer 1

【答案】分析：（1）將E（2，2）代入y²=2px，可得拋物線方程及其焦點坐標；
（2）設出直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理及向量知識，計算=0，即可得到結論．
解答：（1）解：將E（2，2）代入y²=2px，得p=1
所以拋物線方程為y²=2x，焦點坐標為
（2）證明：設，，M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
設直線l方程為x=my+2，與拋物線方程聯立，消去x，得：y²-2my-4=0
則由韋達定理得：y₁y₂=-4，y₁+y₂=2m
直線AE的方程為：，即，
令x=-2，得
同理可得：
∴=4+y_My_N=4+=4+=0
∴OM⊥ON，即∠MON為定值．
點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．