Question

已知向量=（-1，2），=（1，3），=（3，m）．
（1）若點A，B，C能構成三角形，求實數m應滿足的條件；
（2）若點A，B，C構成直角三角形，且∠B=90°，求∠ACO的余弦值．

Answer 1

解：（1）∵=（-1，2），=（1，3），=（3，m）．
∴=-=（2，1），=-=（2，m-3）
∵點A，B，C能構成三角形，
∴向量、不能共線，得2（m-3）≠1×2，所以m≠4，
即m滿足的條件是m≠4
（2）∵=（2，1），=（2，m-3）且△ABC是以B為直角頂點的直角三角形
∴•=2×2+1×（m-3）=0，解得m=-1
可得=（3，-1），
∴=-=（-4，3），=-=（-3，1），
此時，cos∠ACO===，
∴∠ACO的余弦值等于．
分析：（1）因為A，B，C能構成三角形，所以向量、不共線．算出向量、的坐標，根據向量共線的條件列式，解之即可得到實數m應滿足的條件；
（2）由向量與垂直，列出關于m的方程，解之得m=-1．進而得到向量、的坐標，利用向量的夾角公式進行計算，即可得到∠ACO的余弦值．
點評：本題給出A、B、C三點能構成三角形，求參數m的取值范圍，著重考查了平面向量共線的充要條件和向量數量積運算性質等知識，屬于中檔題．