Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=(cosα，sinα)，設(shè)

m

=

a

+t

b

（t為實數(shù)）．
（1）若

a

與

b

共線，求tanα的值；
（2）若α=

π

4

，求當|

m

|取最小值時實數(shù)t的值．

Answer 1

分析：（1）由向量共線可得sinα-2cosα=0，變形可得所求；
（2）把α=

π

4

代入可得

m

=

a

+t

b

的坐標，由模長公式可得|

m

，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得．

解答：解：（1）∵

a

=（1，2），

b

=(cosα，sinα)，且

a

與

b

共線，
∴sinα-2cosα=0，即sinα=2cosα，
∴tanα=

sinα

cosα

=2
（2）當α=

π

4

時，

b

=(

2

2

，

2

2

)，
∴

m

=

a

+t

b

=（1+

2

2

t，2+

2

2

t），
∴|

m

|=

(1+ 2 2 t)2+(2+ 2 2 t)2

=

t2+3 2 t+5

由二次函數(shù)的知識可知當t=-

3 2

2×1

=-

3 2

2

時，|

m

|取最小值．

點評：本題考查平面向量的平行與共線，涉及向量的模長公式以及二次函數(shù)的最值問題，屬基礎(chǔ)題．