Question

若多項式（1+x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m滿足：a₁+2a₂+…+ma_m=448，則不等式

1

a3

+

2

a3

+…+

n

a3

≥

3

4

成立時，正整數n的最小值為______．

Answer 1

設y=（1+x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m，
y′=m（1+x）^m-1=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+ma_mx^m-1，
令x=1，得2^m-1m=a₁+2a₂+3a₃+…+ma_m=448=2⁶×7．
解得m=7．∴a₃=C₇³=35．

1

35

+

2

35

+…+

n

35

=

n(1+n)

70

≥

3

4

，
解得n＞6．
正整數n的最小值為：7．
故答案為：7．