Question

若多項式（1+x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m滿足：a₁+2a₂+3a₃+…+ma_m=80，則

lim

n→∞

(

1

a4

+

1

a 2 4

+

1

a 3 4

+…+

1

a n 4

)的值是（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  4

• C、

  1

  5

• D、

  1

  6

Answer 1

分析：y′=m（1+x）^m-1=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+ma_mx^m-1，令x=1，得2^m-1m=a₁+2a₂+3a₃+…+ma_m=80．解得m=5．所以

lim

n→∞

(

1

a4

+

1

a 2 4

+

1

a 3 4

+…+

1

a n 4

)=

lim

n→∞

(

1

5

+

1

52

+…+

1

5n

)=

1 5

1- 1 5

=

1

4

．

解答：解：設y=（1+x）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m，
y′=m（1+x）^m-1=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+ma_mx^m-1，
令x=1，得2^m-1m=a₁+2a₂+3a₃+…+ma_m=80．
解得m=5．∴a₄=C₅⁴=5．
∴

lim

n→∞

(

1

a4

+

1

a 2 4

+

1

a 3 4

+…+

1

a n 4

)=

lim

n→∞

(

1

5

+

1

52

+…+

1

5n

)
=

1 5

1- 1 5

=

1

4

．
故選B．

點評：本題考查極限及其運算，解題的關鍵是利用導數求出m的值．