Question

如圖，P是正方形ABCD的對角線BD上的任意一點(diǎn)，PECF是矩形，用向量證明PA=EF且PA⊥EF.

Answer 1

思路分析：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算.

證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，建立如右圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1.又設(shè)P(λ，λ)(0＜λ＜1)，則A(0，1)，E(λ，0)，F(1，λ)，

∴||=，

||= (1－λ)²+λ²=2λ²－2λ+1.

∴||=||，即PA=EF.

由·=(－λ，1－λ)·(1－λ，λ)=(－λ)×(1－λ)+(1－λ)·λ

=－λ+λ²+λ－λ²=0.

∴⊥，即PA⊥EF.