Question

 如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點，PA⊥AB，PA⊥AD，點Q是PA的中點，PA=4，AB=2．
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求點Q到BD的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖知，可先證PC在面ABCD內的射影與BD垂直，再由三垂線定理得出PC⊥BD；
（2）由圖及題設條件，可先證出點Q到BD的距離即是QO，再由Q，O是中點求出線段QA與OA的長度，在直角三角形QAO中用勾股定理求出OQ的長，即得點Q到線BD的距離

解答：解：（1）連接AC
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD
∴AC為斜線PC在平面ABCD內的射影
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD（4分）
∴PC⊥BD（6分）
（2）設AC∩BD=O，連接OQ
∵Q為PA中點，O為AC中點
∴OQ∥PC
∵PC⊥BD
∴OQ⊥BD
∴OQ的長就是點Q到BD的距離（9分）
∵AB=2，PA=4
∴AC=2

2

∴OA=

2

，QA=2
∴OQ=

QA2+OA2

=

6

即點Q到BD的距離為

6

（12分）

點評：本題考點是點、線、面間距離的計算，考查了三垂線定理，點線距離的求法，解題的關鍵是熟練掌握三垂線定理及理解點到線的距離的幾何意義，本題考查了根據圖形進行判斷的能力，是立體幾何中的基礎題型，可用來訓練對基礎知識的理解及基本方法的培養．