Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-f′(2)x，g(x)=lnx-

1

2

x2．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）若對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求實數a的取值范圍；
（III）設x₁，x₂，a₁，a₂＞0，且a₁+a₂=1，求證：a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．

Answer 1

分析：（I）欲求函數f（x）的解析式，根據題意，即求出其中的f'（2）的值，故只須對函數求導后令x=2即可；
（II）設F（x）=f（x）+g（x），對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，只須a≥F（x）_max即可，利用導數求函數F（x）的最大值，則實數a的取值范圍可求．
（III）由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，再分別令x=

x1

a1x1+a2x2

，x=

x2

a1x1+a2x2

，后利用不等式的性質兩式相加，得到一個不等關系式，化簡即可證出結論．

解答：解：（I）因為f(x)=

1

2

x2-f′(2)x，
所以f′（x）=x-f′（2）．（2分）
令x=2，得f′（2）=1，
所以f（x）=

1

2

x2-x．（4分）
（II）解：設F（x）=f（x）+g（x）=lnx-x，
則F′(x)=

1

x

-1，（5分）
令F′（x）=0，解得x=1．（6分）
當x變化時，F（x）與F′（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	極大值	減

所以當x=1時，F（x）_max=F（1）=-1．（9分）
因為對于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，
所以a≥-1．（10分）
（III）證明：由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，
令x=

x1

a1x1+a2x2

，得ln

x1

a1x1+a2x2

≤

x1

a1x1+a2x2

-1，
令x=

x2

a1x1+a2x2

，得ln

x2

a1x1+a2x2

≤

x2

a1x1+a2x2

-1，（11分）
所以a1ln

x1

a1x1+a2x2

+a2ln

x2

a1x1+a2x2

≤a1(

x1

a1x1+a2x2

-1)+a2(

x2

a1x1+a2x2

-1)
因為a₁+a₂=1，
所以a1ln

x1

a1x1+a2x2

+a2ln

x2

a1x1+a2x2

≤1-a1-a2=0，
即a1ln

x1

a1x1+a2x2

+a2ln

x2

a1x1+a2x2

≤0，
所以a₁lnx₁-a₁ln（a₁x₁+a₂x₂）+a₂lnx₂-a₂ln（a₁x₁+a₂x₂）≤0，
即a₁ln₁+a₂lnx₂≤（a₁+a₂）ln（a₁x₁+a₂x₂），
所以a₁lnx₁+a₂lnx₂≤ln（a₁x₁+a₂x₂）．（14分）

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，函數的導函數在某一區間上大于0，原函數是增函數，導函數小于0，原函數是減函數，考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，考查了分離變量法，是中檔題．