Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且當x∈[-1，1]時，f（x）=x³．
（1）求f（x）在[1，5]上的表達式；
（2）若A={x|f（x）＞a，x∈R}，且A≠∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x+2）=-f（x）可推知函數為周期函數周期為4，再利用周期性求得f（x）在[1，3]和[3，5]的解析式．
（2）根據f（x）的周期函數，從一個周期來考慮f（x）的值域．根據（1）中f（x）的解析式求得函數f（x）的值域，進而求出a的范圍．

解答：解：（1）由f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故f（x）的周期為4
（1）當x∈[3，5]時，x-4∈（-1，1]，
∴f（x-4）=（x-4）³
又T=4，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）³，3≤x≤5
（2）當x∈[1，3]時，x-2∈[-1，1]，
∴f（x-2）=（x-2）³
又f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³，1≤x≤3，
故f（x）=

-(x-2)3     1≤x≤3 (x-4)3       3≤x≤5

（2）∵f（x）的周期函數，
∴f（x）的值域可以從一個周期來考慮
x∈[1，3]時，f（x）∈（-1，1]
x∈[3，5]時，f（x）∈[-1，1]
∴f（x）＞a，對x∈R，A≠∅，
∴-1＜a＜1

點評：本題主要考查了函數的周期性．解題的關鍵是求出f（x）在不同區間上的解析式．