Question

已知函數f（x）=|x-a|-|x-5|，a＞0．
（I）若a=2，求f（x）≥0的解集．
（II）若不等式f（x）≤2x的解集為[5，+∞），求a的值．

Answer 1

分析：（I）當a=2時，ff（x）≥0可化為|x-2|≥|x-5|，直接求出不等式|x-2|≥|x-5|的解集即可．
（II）由題設知：|x-a|-|x-5|≤2x．下面就a的取值分類討論，在同一坐標系中作出函數y=f（x）和y=2x的圖象，結合圖象即可求得 a 的值．

解答：解：（ I） a=2時，f（x）=|x-2|-|x-5|，f（x）≥0，
即|x-2|≥|x-5|，x≥

7

2

，所以f（x）≥0的解集[

7

2

，+∞）．
（ II） f（x）≤2x即|x-a|-|x-5|≤2x ①
（1）a=5時，解①得x≥0，不合題意．
（2）a＞5時，f（x）=

5-a，x≥a a+5-2x，5＜x＜a a-5，x≤5

函數圖象如圖，
∵f（x）≤2x的解集為[5，+∞），
∴直線y=2x過（5，a-5），
∴a-5=10，a=15．
（3）0＜a＜5時，f（x）=

5-a，x≥5 2x-a-5，a＜x＜5 a-5，x≤a

函數圖象如下圖，不合題意．

綜上，a=15．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，函數圖象的特征，體現了數形結合的數學思想，畫出函數f（x）的圖象，是解題的關鍵．