Question

如圖：二面角α-l-β的大小是60°，線段AB?α，AB與l所成角為45°，則AB與平面β所成角的正弦值是

6

4

．

Answer 1

分析：過點A作平面β的垂線，垂足為C，在β內過C作CD⊥l于D，連結AD，由三垂線定理證出AD⊥l，可得∠ADC為二面角α-l-β的平面角．連線CB，由AC⊥β可得∠ABC為AB與平面β所成的角，再利用解直角三角形知識，結合題中數據加以計算即可得出求出AB與平面β所成角的正弦值．

解答：解：過點A作平面β的垂線，垂足為C，在β內過C作l的垂線，垂足為D．
連結AD，根據三垂線定理可得AD⊥l，
因此，∠ADC為二面角α-l-β的平面角，∠ADC=60°
又∵AB與l所成角為45°，∴∠ABD=45°
連結BC，可得BC為AB在平面β內的射影，
∴∠ABC為AB與平面β所成的角．
設AD=2x，則Rt△ACD中，AC=ADsin60°=

3

x，
Rt△ABD中，AB=

AD

sin45°

=2

2

x
∴Rt△ABC中，sin∠ABC=

AC

AB

=

3 x

2 2 x

=

6

4

故答案為：

6

4

．

點評：本題給出60°的二面角的一個面內一條直線與棱成45°角，求該直線與另一個面所成角的正弦值．著重考查了線面垂直的定義與性質、二面角的平面角的定義和直線與平面所成角的定義及求法等知識，屬于中檔題．