Question

如圖，二面角α-l-β的大小是60°，線段AB?α．B∈l，AB與l所成的角為30°．則AB與平面β所成的角的正弦值是

 

．

Answer 1

分析：過點A作平面β的垂線，垂足為C，在β內(nèi)過C作l的垂線．垂足為D，連接AD，從而∠ADC為二面角α-l-β的平面角，連接CB，則∠ABC為AB與平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．

解答：解：過點A作平面β的垂線，垂足為C，
在β內(nèi)過C作l的垂線．垂足為D
連接AD，有三垂線定理可知AD⊥l，
故∠ADC為二面角α-l-β的平面角，為60°
又由已知，∠ABD=30°
連接CB，則∠ABC為AB與平面β所成的角
設(shè)AD=2，則AC=

3

，CD=1
AB=

AD

sin300

=4
∴sin∠ABC=

AC

AB

=

3

4

；
故答案為

3

4

．

點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，以及直線與平面所成角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．