Question

已知雙曲線C：2x²-y²=2與點P（1，2）
（1）求過P（1，2）點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點．
（2）若Q（1，1），試判斷以Q為中點的弦是否存在．

Answer 1

分析：（1）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1，與曲線C有一個交點．當l的斜率存在時，設直線l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0，然后進行分類討論，把直線與雙曲線交點個數問題，歸結為方程組解的問題進行求解．
（2）假設以Q為中點的弦存在，設為AB，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2兩式相減得．2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），再由點差法進行求解．

解答：解：（1）當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1，與曲線C有一個交點．
當l的斜率存在時，設直線l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，
并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0 （^*）
（ⅰ）當2-k²=0，即k=±

2

時，方程（^*）有一個根，l與C有一個交點
（ⅱ）當2-k²≠0，即k≠±

2

時
△=[2（k²-2k）]²-4（2-k²）（-k²+4k-6）=16（3-2k）
①當△=0，即3-2k=0，k=

3

2

時，方程（^*）有一個實根，l與C有一個交點．
②當△＞0，即k＜

3

2

，又k≠±

2

，
故當k＜-

2

或-

2

＜k＜

2

或

2

＜k＜

3

2

時，方程（^*）有兩不等實根，l與C有兩個交點．
③當△＜0，即k＞

3

2

時，方程（^*）無解，l與C無交點．
綜上知：當k=±

2

，或k=

3

2

，或k不存在時，l與C只有一個交點；
當

2

＜k＜

3

2

，或-

2

＜k＜

2

，或k＜-

2

時，l與C有兩個交點；
當k＞

3

2

時，l與C沒有交點．
（2）假設以Q為中點的弦存在，設為AB，
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
兩式相減得2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
又∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
∴2（x₁-x₂）=y₁-y₁  
即k_AB=

y1-y2

x1-x2

=2，
但漸近線斜率為±

2

，
結合圖形知直線AB與C無交點，所以假設不正確，
即以Q為中點的弦不存在．

點評：第一問考查直線與雙曲線交點個數問題，歸結為方程組解的問題．第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法--“點差法”，涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯系起來，相互轉化．具體涉及到二次方程根的個數的判定、兩點連線的斜率公式、中點坐標公式．易錯點：第一問，求二次方程根的個數，忽略了二次項系數的討論．第二問，算得以Q為中點弦的斜率為2，就認為所求直線存在了．