Question

已知雙曲線C：2x²－y²=2與點P(1，2)

(1)求過P(1，2)點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點.

(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點的弦是否存在.

Answer 1

（1）當k=±,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時，l與C有兩個交點；當k＞時，l與C沒有交點.

（2）Q為中點的弦不存在.

解析:

(1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得

(2－k²)x²+2(k²－2k)x－k²+4k－6=0                                         

(ⅰ)當2－k²=0,即k=±時，方程有一個根，l與C有一個交點

(ⅱ)當2－k²≠0,即k≠±時

Δ=［2(k²－2k)］²－4(2－k²)(－k²+4k－6)=16(3－2k)

①當Δ=0,即3－2k=0,k=時，方程有一個實根，l與C有一個交點.

②當Δ＞0,即k＜,又k≠±,故當k＜－或－＜k＜或＜k＜時，方程有兩不等實根，l與C有兩個交點.

③當Δ＜0，即k＞時，方程無解，l與C無交點.

綜上知：當k=±,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；

當＜k＜,或－＜k＜,或k＜－時，l與C有兩個交點；

當k＞時，l與C沒有交點.

(2)假設以Q為中點的弦存在，設為AB，且A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，則2x₁²－y₁²=2,2x₂²－y₂²=2兩式相減得：2(x₁－x₂)(x₁+x₂)=(y₁－y₂)(y₁+y₂)

又∵x₁+x₂=2,y₁+y₂=2

∴2(x₁－x₂)=y₁－y₁

即k_AB==2

但漸近線斜率為±,結合圖形知直線AB與C無交點，所以假設不正確，即以Q為中點的弦不存在.