Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）討論函數的單調性；

（2）函數的圖象與軸交于兩點， ，點在函數的圖象上，且為等腰直角三角形，記，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）對函數求導，利用導數與函數單調性的關系，對進行分類討論可得結果；（2）由函數圖象交軸于兩點，兩點橫坐標滿足方程．又根據直角三角斜邊的中線性質可得三者間關系，最后利用將方程轉化成只含有兩個變量，可求得兩變量關系，進一步求得的值．試題解析：

（Ⅰ）．

①當時，則，則函數在是單調增函數．

②當時，令，則，

若， ，所以在上是單調減函數；

若， ，所以在上是單調增函數．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當時，函數其圖象與軸交于兩點，則有，則 ．

于是，在等腰三角形ABC中，顯然C = 90°，所以，即，

由直角三角形斜邊的中線性質，可知，

所以，即，

所以，

即．

因為，則，

又，所以，

即，則所以．