Question

【題目】已知函數f（x）= ，則關于函數F（x）=f（f（x））的零點個數，正確的結論是 ． （寫出你認為正確的所有結論的序號）
①k=0時，F（x）恰有一個零點．②k＜0時，F（x）恰有2個零點．
③k＞0時，F（x）恰有3個零點．④k＞0時，F（x）恰有4個零點．

Answer 1

【答案】②④
【解析】解：
①當k=0時，f（x）= ，當x≤0時，f（x）=1，則f（f（x））=f（1）= =0，
此時有無窮多個零點，故①錯誤；
②當k＜0時，（Ⅰ）當x≤0時，f（x）=kx+1≥1，
此時f（f（x））=f（kx+1）= ，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）當0＜x≤1時， ，此時
f（f（x））=f（ ）= ，令f（f（x））=0，可得：x= ，滿足；
（Ⅲ）當x＞1時， ，此時f（f（x））=f（ ）=k +1＞0，此時無零點．
綜上可得，當k＜0時，函數有兩零點，故②正確；
③當k＞0時，（Ⅰ）當x≤ 時，kx+1≤0，此時f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得： ，滿足；
（Ⅱ）當 時，kx+1＞0，此時f（f（x））=f（kx+1）= ，令f（f（x））=0，可得：x=0，滿足；
（Ⅲ）當0＜x≤1時， ，此時f（f（x））=f（ ）= ，令f（f（x））=0，可得：x= ，滿足；
（Ⅳ）當x＞1時， ，此時f（f（x））=f（ ）=k +1，令f（f（x））=0得：x= ＞1，滿足；
綜上可得：當k＞0時，函數有4個零點．故③錯誤，④正確．
所以答案是：②④．