Question

已知過點P（1，2）做直線與圓C：x²+y²=1相交于A、B兩點，在線段AB上取點Q，滿足|

AP

|•|

BQ

|=|

AQ

|•|

BP

|，證明：點Q總在某定直線上．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,平面向量數量積的運算

專題：直線與圓

分析：首先根據|

AP

|•|

BQ

|=|

AQ

|•|

BP

|，進一步利用分點坐標公式求出①②③④幾個式子，進一步結合關系求解．

解答： 證明：已知過點P（1，2）做直線與圓C：x²+y²=1，交于A、B兩點，設Q（x，y），A（x₁，y₁），
B（x₂，y₂）且|

AP

|•|

BQ

|=|

AQ

|•|

BP

|
則：

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

=λ(λ＞0，λ≠1)
利用分點坐標公式：1=

x1-λx2

1-λ

①，2=

y1-λy2

1-λ

②，x=

x1+λx2

1+λ

③，y=

y1+λy2

1+λ

④
所以：①×③得：x=

x12-λ2x22

1-λ2

⑤
②×④得：2y=

y12-λ2y22

1-λ2

⑥
由于A、B在圓上，
所以滿足圓的方程．
所以：⑤+⑥得：1-λ²=（1-λ²）（x+2y），
解得：x+2y-1=0
故點Q總在直線x+2y-1=0上．

點評：本題考查的知識要點：分點坐標公式的應用及相關的運算問題．屬于基礎題型．