Question

（2012•靜安區一模）下列命題中正確的命題是（　　）

• A．若

  lim

  n→∞

  an =A，

  lim

  n→∞

  bn =B，則

  lim

  n→∞

  an

  bn

  =

  A

  B

  （b_n≠0，n∈N^*）
• B．若數列{a_n}，{b_n}的極限都不存在，則{a_n+b_n}的極限也不存在
• C．若數列{a_n}，{a_n+b_n}的極限都存在，則{b_n}的極限也存在
• D．設S_n=a₁+a₂+…a_n，若數列{a_n}的極限存在，則數列{S_n}的極限也存在

Answer 1

分析：通過給變量取特殊值、舉反例，再利用數列極限的定義和運算，可得選項A、B、D不正確，利用數列極限的運算法則可得C正確．

解答：解：A不正確，當B=0時，則

lim

n→∞

an

bn

=

A

B

 無意義．
B不正確，例如當 a_n =n，b_n =-n 時，數列{a_n}，{b_n}的極限都不存在，
但{a_n+b_n}是{0}，顯然極限存在．
C正確，設

lim

n→∞

an=A，

lim

n→∞

bn=B，
則

lim

n→∞

bn=

lim

n→∞

[( an+bn)-an]=

lim

n→∞

(an+bn)-

lim

n→∞

an=B-A．
D不正確，當a_n=2 時，數列{a_n}的極限存在，但由于S_n=2n，故數列{S_n}的極限不存在．
故選：C．

點評：本題主要考查數列極限的定義和運算，數列極限的運算法則的應用，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，是一種簡單有效的方法．