Question

在△ABC中，三個頂點的坐標分別是A（2，4），B（-1，2），C（1，0），點P（x，y）在△ABC內部運動，若點P滿足

PA

+2

PB

+3

PC

=

0

，則S△_PAC：S△ABC=

1：3

．

Answer 1

分析：延長PB到B'，使PB'=2PB，延長PC到C'，使PC=3PC'，根據

PA

+

PB′

+

PC’

=

0

可知P是△AB'C'的重心，然后設S△PAB'=S△PAC'=S△PB'C'=k，然后將三個三角形的面積用k表示，即可求出所求．

解答：解：如圖：延長PB到B'，使PB'=2PB，延長PC到C'，使PC=3PC'
則

PA

+

PB′

+

PC’

=

0

，P是△AB'C'的重心，
則S△PAB'=S△PAC'=S△PB'C'=k
S₁=

1

2

S△PAB'=

1

2

k，S₃=

1

3

S△PAC'=

1

3

k
S₂=

1

2

PB×PC×sin∠BPC=

1

6

S△PB'C'=

1

6

k
故S₁：S₂：S₃=

1

2

：

1

6

：

1

3

=3：1：2
∴S△_PAC：S△_ABC=1：3
故答案為：1：3

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及

PA

+

PB′

+

PC’

=

0

則P是△AB'C'的重心的應用，屬于中檔題．