Question

已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，DF⊥AC，垂足為F，DE⊥AB，垂足為E．
求證：（Ⅰ）AB•AC=AD•BC；
（Ⅱ）AD³=BC•BE•CF

Answer 1

分析：對于（Ⅰ）求證AB•AC=AD•BC．故可考慮根據已知條件分析得到△ABD∽△CBA，根據相似三角形邊成比例，即可得到答案．
對于（Ⅱ）求證AD³=BC•BE•CF．因為由射影定理可得到AD²=AE•AB，然后根據相似三角形證明DF=AE，及邊的比例關系，綜合三個條件即可得到答案．

解答：（Ⅰ）證明：因為Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．
顯然△ABD∽△CBA
∴

AB

AD

=

BC

AC

，即AB•AC=AD•BC
（Ⅱ）∵由射影定理知AD²=AE•AB
又由三角形相似可知

DF

CF

=

BE

ED

，

AB

BC

=

ED

AD

，且DF=AE
∴AE•AB•AD=BC•CF•BE，結合射影定理
∴AD³=BC•BE•CF．
故得證．

點評：此題主要考查相似三角形的性質問題，其中涉及到射影定理的應用．對于相似三角形在初中就已經學過，是大家比較熟悉的考點了，且題目較簡單，屬于基礎題目．