Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，將△ADE沿著DE翻折成△A₁DE，使得平面A₁DE⊥平面DECB，F(xiàn)是A₁B上一點(diǎn)且A₁E∥平面FDC．
（1）求．
（2）求三棱錐D-A₁CF的體積．
（3）求A₁B與平面FDC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EB交DC于O，連接FO，由線面平行的性質(zhì)定理可得A₁E∥FO，由三角形中位定理及相似三角形的性質(zhì)可得
（2）由面面垂直的性質(zhì)定理可得A₁D⊥平面DECB，代入棱錐體積公式可得三棱錐D-A₁CF的體積．
（3）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．分別求出平面FDC的法向量和直線A₁B的方向向量，代入向量坐標(biāo)公式，可得答案．
解答：解：（1）連接EB交DC于O，連接FO．．…（3分）
D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．
所以在△BA₁E中，．…（5分）

（2）．=．…（10分）

（3）A₁D⊥平面DECB．又DE⊥DB．
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則D（0，0，0），A₁（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，0）．…（7分）
設(shè)F（x，y，z）．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103104236156796185/SYS201311031042361567961022_DA/10.png">．
所以，即，
所以．．設(shè)平面FDC的法向量．
則，令z=1，則．又．
設(shè)A₁B與平面FDC所成角的大小為θ，則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103104236156796185/SYS201311031042361567961022_DA/20.png">，所以A₁B與平面FDC所成角的大小．…（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面平行的性質(zhì)定理，三棱錐的體積，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間直線與平面的夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角是解答的關(guān)鍵．