Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，則f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值等于1-ln2．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)的最值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]單調(diào)遞增，
又∵f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，f（2）=ln2-$\frac{1}{2}$，
f（1）=0，
f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=$\frac{3}{2}$-2ln2＞0，
故f_max（x）=1-ln2，
故答案為：1-ln2．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．