Question

【題目】過拋物線）的焦點F且斜率為的直線交拋物線C于M，N兩點，且．

（1）求p的值；

（2）拋物線C上一點，直線（其中）與拋物線C交于A，B兩個不同的點（A，B均與點Q不重合）．設直線QA，QB的斜率分別為，.直線l是否過定點？如果是，請求出所有定點；如果不是，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過定點

【解析】

（1）設直線，與拋物線聯立可得，利用焦點弦長可構造方程求得；（2）由（1）可得拋物線方程和點坐標；聯立直線與拋物線方程，可得和韋達定理的形式；利用兩點連線斜率公式表示出，代入韋達定理結果可求得，滿足，從而得到直線方程，進而求得定點.

（1）由題意得：，設直線方程為：

代入拋物線方程得：

設，

，解得：

（2）由（1）知：拋物線

設，

由得：，則

，

即： ，解得：

當時，

，恒過定點

直線恒過定點