Question

【題目】如圖，由半圓和部分拋物線合成的曲線稱為“羽毛球開線”，曲線與軸有兩個焦點，且經過點

(1)求的值；

(2)設為曲線上的動點，求的最小值；

(3)過且斜率為的直線與“羽毛球形線”相交于點三點，問是否存在實數使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且，詳見解析

【解析】

（1）將代入求出，再由與軸交點坐標，代入圓的方程，即可求出；

（2）先設，得到，分別討論，和兩種情況，由拋物線與圓的方程，即可求出結果；

（3）先由題意得到的方程，與拋物線聯立，求出；與圓聯立，求出，根據得到，化簡得到關于的方程，求解，即可得出結果.

（1）由題意，將代入，得到；所以拋物線；

又與軸交于，所以，代入圓的方程，可得；

所以，；

（2）設，因為，則，

當時，，所以，

所以時，；

當時，，，

所以時，；

而，所以的最小值為；

（3）由題意，可得：的方程為，

由，整理得：，

解得或，即；

由，整理得：

解得：或，則，

由，可得，

即，整理得，解得（由題意，負值舍去）

因此，存在實數，使得.