Question

已知復(fù)數(shù)，．復(fù)數(shù)，z²ω³在復(fù)數(shù)平面上所對應(yīng)的點分別為P，Q．
證明△OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點）．

Answer 1

【答案】分析：利用復(fù)數(shù)三角形式，化簡復(fù)數(shù)，．
然后計算復(fù)數(shù)，z²ω³，計算二者的夾角和模，即可證得結(jié)論．
解答：解法一：，
于是，，=
因為OP與OQ的夾角為，所以O(shè)P⊥OQ．
因為，所以|OP|=|OQ|
由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形．
解法二：
因為，所以z³=-i．
因為，所以ω⁴=-1
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．
由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形．
點評：本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和邏輯推理能力，是中檔題．