Question

已知復數z是關于x的實系數一元二次方程x²+mx+25=0的一個根，同時復數z滿足關系式|z|+z=8+4i．
（1）求|z|的值及復數z；
（2）求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）直接設出復數z，利用復數相等對應實部和實部相等，虛部和虛部相等解方程即可求出|z|的值及復數z；
（2）因為方程兩根之積為25，所以

.

z

也是原方程的一根，再結合（1）的結論和一元二次方程的根的分布與系數的關系即可求出實數m的值．

解答：解：（1）設z=a+bi，

a2+b2

+a+bi=8+4i
則

a2+b2 +a=8 b=4

得

a=3 b=4

所以：z=3+4i，|z|=5
（2）因為方程兩根之積為25，所以

.

z

也是原方程的一根，且

.

z

=3-4i
所以z+

.

z

═-m
故：m=-6．

點評：本題第一問中涉及到復數相等．復數相等的對應結論是實部和實部相等，虛部和虛部相等．