Question

已知函數f（x）=（x+1）lnx-a（x+1）（a∈R）
（I）若當x∈[1，+∞）時，f'（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（II）求函數的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出導函數．再由f′（x）＞0恒成立，分離參數得a＜lnx++1（x≥1）恒成立，令h（x）=lnx++1，利用導數研究其最值，從而解決問題；
（II）先寫出函數g（x）的解析式，再求出導數g′（x）=，下面對a進行分類討論：當a≥1時，當a＜1時，結合導數工具研究其單調區間即可．
解答：解：x＞0，f′（x）=lnx+-a．
（I）f′（x）＞0恒成立，即a＜lnx++1（x≥1）恒成立，
令h（x）=lnx++1，則h′（x）=≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴當x∈[1，+∞）時，h（x）最小值=h（1）=2，
故a＜2．
（II）g（x）=f′（x）-=lnx+-a-=lnx++1-a，
g′（x）=，
當a≥1時，g′（x）＞0，函數g（x）在（0，+∞）上遞增；
當a＜1時，g′（x）=0，得x=1-a，
x∈（0，1-a）時，g′（x）＜0函數g（x）在（0，+∞）上遞減；
x∈（1-a，+∞）時，g′（x）＞0函數g（x）在（0，+∞）上遞增；
故函數的單調區間為：
當a≥1時，函數g（x）遞增區間為：（0，+∞）；
當a＜1時，函數g（x）遞增區間為：（1-a，+∞）；函數g（x）遞減區間為：（0，1-a）．
點評：本題考查函數的單調性與其導數的關系、利用導數研究函數的單調性，注意解題時要先分析函數的定義域．