Question

【題目】已知函數f（x）=ax+ （a∈R）g（x）=lnx．
（1）若對任意的實數a，函數f（x）與g（x）的圖象在x=x0處的切線斜率總相等，求x0的值；
（2）若a＞0，對任意x＞0，不等式f（x）﹣g（x）≥1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，g（x）=lnx，

∴f′（x）=a+ ，g′（x）= ，

由題設知x0＞0，且f′（x0）=g′（x0），即a+ = ，

∴a ﹣x0+1﹣a=0，即a（ ﹣1）+（1﹣x0）=0

∵上式對任意實數a恒成立，

∴ ，解得x0=1，

故x0=1；

（2）解：∵ ，g（x）=lnx，

∴f（x）﹣g（x）≥1，即ax+ ，

令h（x）=ax+ ，則h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，

又h′（x）=a+ ﹣ = = （x＞0，a＞0），

①若0＜a≤ ，則﹣1+ ，

∴當x∈（0，1）時，h′（x）＞0，

則h（x）在（0，1）單調遞增，

∴h（x）＜h（1）=2a﹣1≤0，

這與h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立矛盾，

故0＜a≤ 不符合題意；

②若 ＜a＜1，則0 ，

∴當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，

則h（x）在（1，+∞）上單調遞增，

∴h（x）＞h（1）=2a﹣1，

而h（1）=2a﹣1＜1，

這與h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立矛盾，

故 ＜a＜1不符合題意；

③若a≥1，則﹣1+ ，

∴當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，

則h（x）在（0，1）上單調遞減，h（x）在（1，+∞）上單調遞增，

∴h（x）min=h（1）=2a﹣1≥1，即h（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，

∴a≥1符合題意．

綜合①②③，實數a的取值范圍是[1，+∞）

【解析】（1）利用導數的幾何意義，分別求出f（x）和g（x）在x=x0處的切線的斜率，則有f′（x0）=g′（x0）對任意實數a總成立，從而列出關于x0的方程，求解即可得答案；（2）將不等式f（x）﹣g（x）≥1等價表示為ax+ ，令h（x）=ax+ ，求出導函數，利用導函數的正負，確定函數h（x）的單調性，判斷出h（x）的取值范圍，從而得到實數a的取值范圍．