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【題目】已知函數.

1)①求證:當任意取值時,的圖像始終經過一個定點,并求出該定點坐標;

②若的圖像在該定點處取得極值,求的值;

2)求證:當時,函數有唯一零點.

【答案】1)①見解析,定點的坐標為;②2)見解析

【解析】

1)①由可得,所以的圖象始終經過一個定點;②對函數求導,利用函數在此定點處有極值,導函數值等于零列方程求解即可;

2)可知已經有零點1,只需要證明函數再無其它零點即可,當時,,時無零點;當,且時,,所以,時也無零點.

1)①由可得,,

所以的圖像始終經過一個定點的坐標為;

②因為

因為的圖像在該定點處取得極值,所以,所以,

時,,滿足:在左右側異號,

所以符合題意;

2)因為,所以已經有一個零點1,

下面只需要證明函數在無其它零點了.

因為時,,

所以時無零點,

因為,

,且時,,所以,

所以時遞增,所以當

所以時也無零點,

所以時,有唯一零點1.

練習冊系列答案
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(1)求橢圓的標準方程;

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【題目】2020年春節期間,全國人民都在抗擊新型冠狀病毒肺炎的斗爭中.當時武漢多家醫院的醫用防護物資庫存不足,某醫院甚至面臨斷貨危機,南昌某生產商現有一批庫存的醫用防護物資,得知消息后,立即決定無償捐贈這批醫用防護物資,需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇,且選擇兩條路線所用的時間互不影響.據調查統計2000輛汽車,通過這兩條路線從南昌到武漢所用時間的頻數分布表如下:

所用的時間(單位:小時)

路線1的頻數

200

400

200

200

路線2的頻數

100

400

400

100

假設汽車A只能在約定交貨時間的前5小時出發,汽車B只能在約定交貨時間的前6小時出發(將頻率視為概率).為最大可能在約定時間送達這批物資,來確定這兩車的路線.

1)汽車A和汽車B應如何選擇各自的路線.

2)若路線1、路線2一次性費用分別為3.2萬元、1.6萬元,且每車醫用物資生產成本為40萬元(其他費用忽略不計),以上費用均由生產商承擔,作為援助金額的一部分.根據這兩輛車到達時間分別計分,具體規則如下(已知兩輛車到達時間相互獨立,互不影響):

到達時間與約定時間的差x(單位:小時)

該車得分

0

1

2

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針對該!斑x擇考”情況,2019年與2017年比較,下列說法正確的是( )

A.獲得A等級的人數不變B.獲得B等級的人數增加了1

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