Question

（2012•肇慶二模）數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=t，點（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，n∈N^*．
（1）若數列{a_n}是等比數列，求實數t的值；
（2）設b_n=na_n，在（1）的條件下，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設各項均不為0的數列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的整數i的個數稱為這個數列{c_n}的“積異號數”，令cn=

bn-4

bn

（n∈N^*），在（2）的條件下，求數列{c_n}的“積異號數”．

Answer 1

分析：（1）根據數列的第n項與前n項和的關系可得n≥2時，有

an+1=2Sn+1 an=2Sn-1+1

，化簡得a_n+1=3a_n （n≥2），要使n≥1時{a_n}是等比數列，只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，從而得出t的值．
（2）由（1）得，等比數列{a_n}的首項為a₁=1，公比q=3，故有 an=3n-1，從而得到bn=nan=n•3n-1，用錯位相減法求出數列{b_n}的前n項和T_n ．
（3）由條件求得cn=1-

4

bn

，計算可得c₁c₂=-1＜0，再由c_n+1-c_n＞0可得，數列{c_n}遞增，由c2=

1

3

＞0，得當n≥2時，c_n＞0，由此求得數列{c_n}的“積異號數”為1．

解答：解：（1）由題意可得，當n≥2時，有

an+1=2Sn+1 an=2Sn-1+1

，（1分）
兩式相減，得 a_n+1 -a_n =2a_n，即a_n+1=3a_n （n≥2），（2分）
所以，當n≥2時，{a_n}是等比數列，要使n≥1時{a_n}是等比數列，
則只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3，從而得出t=1．（4分）
（2）由（1）得，等比數列{a_n}的首項為a₁=1，公比q=3，∴an=3n-1．（5分）
∴bn=nan=n•3n-1，（6分）
∴Tn=1×30+2×31+3×32+…+(n-1)•3n-2+n•3n-1，①（7分）
上式兩邊乘以3得3Tn=1×31+2×32+3×33+…+(n-1)•3n-1+n•3n②，（8分）
①-②得-2Tn=30+31+32+…+3n-1-n•3n，（9分）
∴Tn=

2n-1

4

•3n+

1

4

．（10分）
（3）由（2）知bn=n•3n-1，∵cn=1-

4

bn

，
∵c1=1-

4

1

=-3，c2=1-

4

2×3

=

1

3

，∴c₁c₂=-1＜0．（11分）
∵cn+1-cn=

4

bn

-

4

bn+1

=

4(2n+3)

n(n+1)•3n

＞0，∴數列{c_n}遞增．（12分）
由c2=

1

3

＞0，得當n≥2時，c_n＞0．（13分）
∴數列{c_n}的“積異號數”為1．（14分）

點評：本題主要考查等比關系的確定，用錯位相減法對數列進行求和，數列的第n項與前n項和的關系，數列與函數的綜合，屬于難題．