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矩形ABCD中,AB=6,BC=2
3
,沿對(duì)角線BD將三角形ABD向上折起,使點(diǎn)A移至點(diǎn)P,使點(diǎn)P在平面BCD上的射影O在DC上,(如圖).
(Ⅰ)求證:PD⊥PC;
(Ⅱ)求直線CD與平面PBD所成角的正弦值.
分析:(Ⅰ) 利用傳統(tǒng)方法,要證線線垂直,可先證線面垂直,本題只需要證明DP⊥平面PCB 即可,
(Ⅱ)解法一:先作二面角的平面角,作CF⊥PB,F(xiàn)為垂足,從而可知∠CDF是CD與平面BDP所成的角,故可求;
解法二:以平行于BC的直線為x軸,以O(shè)C為y軸,以O(shè)P為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量,從而轉(zhuǎn)化為向量的夾角求解即可.
解答:證明:(Ⅰ)∵PO⊥平面BCD,∴PO⊥BC
∴平面PCD⊥平面BCD
又∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PCD∴BC⊥PD
又∵BP⊥PD∴DP⊥平面PCB
∴DP⊥CP                 …(7分)
(Ⅱ)解法一:
作CF⊥PB,F(xiàn)為垂足,∴DP⊥平面PCB∴平面PBD⊥平面BCP
∵CF⊥平面PDB,∴∠CDF是CD與平面BDP所成的角,
在Rt△PBC中,∴∠BCP=90°,BC=2
3
,BP=6
,∴PC=2
6
,∴CF•BP=BC•CP,∴CF=2
2
,
在Rt△CDF中,sin∠CDF=
CF
CD
=
2
3

∴CD與平面BDP所成的角的正弦值為
2
3
…(14分)
解法二:
由題意知 PD=2
3
DC=6DP⊥CP
PC=2
6
PO=
PC•PD
DC
=2
2
DO=2OC=4
如圖,以平行于BC的直線為x軸,以O(shè)C為y軸,以O(shè)P為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則O(0,0,0),P(0,0,2
2
)
,D(0,-2,0),C(0,4,0),B(2
3
,4,0)

CD
=(0,-6,0)
PD
=(0,-2,-2
2
)
BD
=(-2
3
,6,0)

設(shè)平面PBD的法向量為
n
=(x,y,z)

則 
PD
n
=-2y-2
2
z=0
BD
n
=-2
3
x+6y=0

令y=1,則x=
3
,z=-
1
2
,∴
n
=(
3
,1,-
2
2
)

記CD與平面BDP所成的角為θ則  sinθ=|cos<
CD
n
>|
=
|CD
n
|
|
CD
||
n
|
=
6
3
2
2
=
2
3

∴CD與平面BDP所成的角的正弦值為
2
3
…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以平面圖形的翻折為素材,考查線線垂直,考查線面角,一例兩法,應(yīng)注意細(xì)細(xì)體會(huì).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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AP
AB
AD
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1
3
1
3

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2
,E為AD的中點(diǎn)沿BE將△ABE折起,使二面角A-BE-C為直二面角且F為AC的中點(diǎn).
(1)求證:FD∥平面ABE;
(2)求二面角E-AB-C的余弦值.

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AB
|=4
,|
BC
|=3
,BE⊥AC于E,
AB
=
a
,
AD
=
b
,若以
a
b
為基底,則
BE
可表示為
16
25
b
-
9
25
a
16
25
b
-
9
25
a

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