Question

如圖，A地在B地東偏北45°方向相距2km處，B地與東西走向的高鐵線（近似看成直線）l相距4km．已知曲線形公路PQ上任意一點到B地的距離等于到高鐵線l的距離，現要在公路旁建造一個變電房M（變電房與公路之間的距離忽略不計）分別向A地、B地送電．
（Ⅰ）試建立適當的直角坐標系求環形公路PQ所在曲線的軌跡方程；
（Ⅱ）問變電房M應建在相對A地的什么位置（方位和距離），才能使得架設電路所用電線長度最短？并求出最短長度．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取經過點B且垂直l的直線為y軸，垂足為K，并使原點與線段BK的中點重合，建立直角坐標系xoy，由題意可知環形公路PQ所在曲線的軌跡是拋物線，直接利用拋物線的定義得到其標準方程；
（Ⅱ）利用拋物線的定義，把所要求的最小值轉化為在拋物線上取一點，使該點到A點的距離和到高鐵線l的距離最小．
解答：解：（Ⅰ） 如圖，

取經過點B且垂直l的直線為y軸，垂足為K，
并使原點與線段BK的中點重合，建立直角坐標系xoy，
則B（0，2），A（2，4），
因為環形公路PQ上任意一點到B地的距離等于到直線l的距離，
所以PQ所在的曲線是以B（0，2）為焦點，l為準線的拋物線．
設拋物線方程為x²=2py（p＞0），則p=4．
∴環形公路PQ所在曲線的軌跡方程為x²=8y．
（Ⅱ）要使架設電線長度最短，即|MA|+|MB|最小，
過M作MH⊥l，垂足為H，依題意|MB|=|MH|
∴|MA|+|MB|=|MA|+|MH|，
當A、M、H三點共線時，|MA|+|MH|取得最小值，即|MA|+|MB|取得最小值，
此時，位于A地正南方且與A地相距km，所用電線最短長度為6km．
點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡方程問題，考查了拋物線的定義，體現了數學轉化思想方法，解答的關鍵是正確建立平面直角坐標系，是中檔題．