Question

如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流
的沒岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km．現要在曲線PQ上一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉運貨物．經測算，從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km，那么修建這兩條公路的總費用最低是（　　）

• A、（2

  7

  -2）a萬元
• B、5a萬元
• C、（2

  7

  +1）a萬元
• D、（2

  3

  +3）a萬元

Answer 1

分析：依題意知曲線PQ是以A、B為焦點、實軸長為2的雙曲線的一支，此雙曲線的離心率為2，以直線AB為x軸、AB的中點為原點建立平面直角坐標系，則該雙曲線的方程為 x2-

y2

3

=1，點C的坐標為（3，

3

）．求出修建這條公路的總費用W，根據雙曲線的定義有 |MM1|=

1

2

|MB|，根據a+b ≥2

ab

當且僅當a=b時取等號的方法求出W的最小值即可．

解答：解：依題意知PMQ曲線是以A、B為焦點、實軸長為2的雙曲線的一支（以B為焦點），
此雙曲線的離心率為2，以直線AB為軸、AB的中點為原點建立平面直角坐標系，
則該雙曲線的方程為 x²-

y2

3

=1，
點C的坐標為（3，

3

）．則修建這條公路的總費用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[

1

2

|MB|+|MC|]，
設點M、C在右準線上射影分別為點M₁、C₁，
根據雙曲線的定義有|MM₁|=

1

2

|MB|，
所以=2a[|MM₁|+|MC|]≥2a|C C₁|=2a×（3-

1

2

）=5a．
當且僅當點M在線段C C₁上時取等號，故ω的最小值是5a．
故選B．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，以及會用a+b ≥2

ab

當且僅當a=b時取等號的方法來求函數的最小值的能力．