Question

已知z=1+i．
（1）設ω=z²+3

.

z

-4，求ω的三角形式；
（2）如果

z2+az+b

z2-z+1

=1-i，求實數a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把復數的具體形式代入所給的z²+3

.

z

-4，根據乘方和共軛復數，算出ω的值，提出復數的模長，把代數形式變化為三角形式．
（2）先進行復數的乘除運算，把具體的復數的值代入，整理成最簡形式，得到復數相等的條件，使得復數的實部和虛部分別相等，得到關于a和b的方程組，解方程組即可．

解答：解：（1）由z=1+i，有
ω=z²+3

.

z

-4
=（1+i）²+3

.

(1+i)

-4
=2i+3（1-i）-4=-1-i，
ω的三角形式是

2

(cos

5

4

π+isin

5

4

π)．
（2）由z=1+i，有

z2+az+b

z2-z+1

=

(1+i)2+a(1+i)+b

(1+i)2-(1+i)+1

=

(a+b)+(a+2)i

i

=（a+2）-（a+b）i
由題設條件知（a+2）-（a+b）i=1-i．
根據復數相等的定義，得

a+2=1 -(a+b)=-1

解得

a=-1 b=2.

點評：本小題考查共軛復數、復數的三角形式，復數的混合運算等基礎知識及運算能力．是一個綜合題，解題的關鍵是整理過程千萬不要出錯．