Question

函數f（x）=cos2x+sin（

π

2

-x）是（　　）

A．非奇非偶函數

B．僅有最小值的奇函數

C．僅有最大值的偶函數

D．既有最大值又有最小值的偶函數

Answer 1

分析：根據誘導公式化簡得f（x）=cos2x+cosx，可得f（-x）=f（x），函數是偶函數．再化簡得f（x）=2cos²x+cosx-1，可得當cosx=-

1

4

時函數有最小值且cosx=1時函數有最大值，由此可得答案．

解答：解：根據誘導公式，得sin（

π

2

-x）=cosx
∴函數f（x）=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx
f（-x）=cos（-2x）+cos（-x）=cos2x+cosx=f（x）
∴函數f（x）是偶函數
又∵f（x）=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1
∴當cosx=-

1

4

時，函數有最小值-

9

8

；當cosx=1時，函數有最大值2
綜上所述，函數f（x）是既有最大值又有最小值的偶函數
故選：D

點評：本題給出三角函數的表達式，判斷函數的奇偶性并求函數的最值．著重考查了三角函數的奇偶性判斷和二次函數在閉區間上的最值等知識，屬于中檔題．