Question

已知圓心為（1，1）的圓C經過點M（1，2）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線x+y+m=0與圓C交于A、B兩點，且△ABC是直角三角形，求實數m．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由已知，圓的半徑r=|CM|=

(1-1)2+(2-1)2

=1，由此能求出圓C的方程．
（Ⅱ）由題意可知，|CA|=|CB|=1，且∠ACB=90°，圓心C到直線x+y+m=0的距離為

2

2

，由此能求出實數m．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，圓的半徑r=|CM|=

(1-1)2+(2-1)2

=1，
所以圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=1．…（3分）
（Ⅱ）由題意可知，|CA|=|CB|=1，且∠ACB=90°，
∴圓心C到直線x+y+m=0的距離為

2

2

，即

|1+1+m|

12+12

=

2

2

，
解得m=-1或m=-3．…（8分）

點評：本題考查圓的方程的求法，考查實數值的求法，是中檔題，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．