Question

各項都是正數的等比數列{a_n}的公比q≠1，且a₃，a₅，a₆成等差數列，則

a3+a5

a4+a6

=

 

．

Answer 1

分析：由等比數列的第3，5及6項成等差數列，根據等差數列的性質得到第5項的2倍等于第3項加上第6項，然后利用等比數列的通項公式化簡后，得到關于q的方程，根據q不等于1且各項為正，求出方程的解即可得到滿足題意q的值，進而把所求的式子也利用等比數列的通項公式化簡后，得到關于q的式子，把q的值代入即可求出值．

解答：解：由a₃、a₅、a₆成等差數列，得到2a₅=a₃+a₆，
所以2a₁q⁴=a₁q²+a₁q⁵，即2q²=1+q³，
可化為：（q-1）（q²-q-1）=0，又q≠1，
∴q²-q-1=0，解得：q=

1+ 5

2

或q=

1- 5

2

，
因為等比數列{a_n}的各項都是正數，
所以q=

1- 5

2

（不合題意，舍去），
所以 

a3+a5

a4+a6

=

a1q2+a1q4

a1q3+a1q5

=

1

q

=

1

1+ 5 2

=

5 -1

2

．
故答案為：

5 -1

2

．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的性質及等比數列的性質化簡求值，靈活運用等比數列的通項公式化簡求值，是一道基礎題．