Question

12．在△ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）若c=$\sqrt{6}，A={45°}$，a=2，求C，b；
（2）若a=btanA，且B為鈍角，證明：B-A=$\frac{π}{2}$，并求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理即可求出C的大小，再根據正弦定理和兩角和的正弦公式即可求出b
（2）根據正弦定理、商的關系化簡已知的式子，由條件和誘導公式求出B-A的值，求出C和A的范圍，由誘導公式和二倍角的余弦公式變形化簡，利用換元法和二次函數的性質求出式子的范圍．

解答 解：（1）由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$，
∵c=$\sqrt{6}，A={45°}$，a=2，
∴sinC=$\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C=60°或120°，
由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$
當C=60°，sinB=sin（A+C）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴b=$\frac{2×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=1+$\sqrt{3}$，
當C=120°，sinB=sin（A+C）=sin45°cos120°+cos45°sin120°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴b=$\sqrt{3}$-1，
（2）由題意得a=btanA，
∴由正弦定理得sinA=sinB•$\frac{sinA}{cosA}$，則sinB=cosA，
∵B為鈍角，∴B=$\frac{π}{2}$+A，
∴B-A=$\frac{π}{2}$；
∴C=π-（A+B）=π-（A+$\frac{π}{2}$+A）=$\frac{π}{2}$-2A＞0，
∴A∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{π}{2}$-2A）
=sinA+cos2A=sinA+1-2sin²A
=-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{4}$），∴0＜sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由二次函數可知，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$≤$\frac{9}{8}$，
∴sinA+sinC的取值范圍為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{9}{8}$]

點評 本題考查三角函數中恒等變換的應用，正弦定理，以及換元法和二次函數的性質，熟練掌握公式和定理是解題的關鍵．